Zwart-Scholes-model: Wat is het en hoe werkt het?
Het Zwart-Scholes-model, ook wel bekend als de Black-Scholes-Merton-formule, is een wiskundig model dat wordt gebruikt om de theoretische prijs van een Europese optie te berekenen. Het model werd in 1973 geïntroduceerd door Fischer Black en Myron Scholes en is sindsdien een belangrijk instrument geworden voor beleggers en financiële professionals. In dit artikel zullen we het Zwart-Scholes-model uitleggen, de formule bespreken en een voorbeeld geven van hoe het model in de praktijk wordt toegepast.
Wat is het Zwart-Scholes-model?
Het Zwart-Scholes-model is een wiskundige formule die wordt gebruikt om de theoretische prijs van een Europese optie te berekenen. Een Europese optie is een financieel contract dat de houder het recht geeft, maar niet de verplichting, om een onderliggende waarde (zoals een aandeel) te kopen of verkopen tegen een vooraf bepaalde prijs (de uitoefenprijs) op een specifieke datum in de toekomst (de vervaldatum).
De formule houdt rekening met verschillende factoren, zoals de huidige prijs van de onderliggende waarde, de uitoefenprijs, de tijd tot de vervaldatum, de rentevoet en de volatiliteit van de onderliggende waarde. Door al deze factoren in de formule te verwerken, kan het Zwart-Scholes-model een nauwkeurige schatting geven van de theoretische prijs van een optie.
De Zwart-Scholes-formule
De Zwart-Scholes-formule voor het berekenen van de prijs van een Europese call-optie (het recht om te kopen) is als volgt:
C = S * N(d1) – X * e-rt * N(d2)
En voor een Europese put-optie (het recht om te verkopen) is de formule:
P = X * e-rt * N(-d2) – S * N(-d1)
Waarbij:
- C de prijs van de call-optie is
- P de prijs van de put-optie is
- S de huidige prijs van de onderliggende waarde is
- X de uitoefenprijs is
- t de tijd tot de vervaldatum is (in jaren)
- r de risicovrije rentevoet is
- e de basis van het natuurlijke logaritme is (ongeveer 2,718)
- N(d) de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling is
- d1 en d2 zijn variabelen die worden berekend met behulp van de volgende formules:
d1 = (ln(S/X) + (r + σ2/2) * t) / (σ * √t)
d2 = d1 – σ * √t
Waarbij:
- σ de volatiliteit van de onderliggende waarde is
- ln de natuurlijke logaritme is
Voorbeeld: Het gebruik van het Zwart-Scholes-model in de praktijk
Stel dat we de prijs willen berekenen van een Europese call-optie op aandeel XYZ met een uitoefenprijs van €50 en een vervaldatum over 6 maanden. De huidige prijs van het aandeel XYZ is €45, de risicovrije rentevoet is 2% en de volatiliteit van het aandeel is 30%.
We kunnen de Zwart-Scholes-formule gebruiken om de prijs van deze call-optie te berekenen:
Eerst berekenen we d1 en d2:
d1 = (ln(45/50) + (0.02 + 0.32/2) * 0.5) / (0.3 * √0.5) ≈ -0.193
d2 = -0.193 – 0.3 * √0.5 ≈ -0.493
Vervolgens berekenen we de prijs van de call-optie:
C = 45 * N(-0.193) – 50 * e-0.02*0.5 * N(-0.493) ≈ €2.98
Volgens het Zwart-Scholes-model is de theoretische prijs van deze Europese call-optie dus €2.98.
Conclusie
Het Zwart-Scholes-model is een belangrijk instrument voor het berekenen van de theoretische prijs van Europese opties. Hoewel het model enkele beperkingen heeft, zoals het feit dat het geen rekening houdt met vroege uitoefening of dividenden, biedt het een solide basis voor het begrijpen van optieprijzen en het nemen van weloverwogen beleggingsbeslissingen. Door het Zwart-Scholes-model te begrijpen en toe te passen, kunnen beleggers en financiële professionals beter navigeren in de complexe wereld van opties en derivaten.